Question

在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，我們定義A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點(diǎn)間的“直角距離”為D_（AB）=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．
（1）在平面直角坐標(biāo)系中，寫出所有滿足到原點(diǎn)的直角距離為2的“格點(diǎn)”的坐標(biāo)（“格點(diǎn)”指的是橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）
（2）求到兩定點(diǎn)F₁、F₂的“直角距離”之和為定值2a（a＞0）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出該動(dòng)點(diǎn)的軌跡；
（在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)作答，多做不計(jì)分，其中選擇條件①，滿分3分；選擇條件②，滿分4分；選擇③滿分6分）
①F₁（-1，0）、F₂（1，0）、a=2；
②F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=2③F₁（-1，-1）、F₂（1，1）、a=4；
（3）（理科）寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的所有格點(diǎn)的坐標(biāo)，并說明理由；
（文科）寫出同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的所有格點(diǎn)的坐標(biāo)，不必說明理由；
①到A（-1，-1）、B（1，1）兩點(diǎn)的“直角距離”相等；
②到C（-2，-2）、D（2，2）兩點(diǎn)的“直角距離”之和最�。�

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,新定義,分類討論

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有新定義可得，|x|+|y|=2，運(yùn)用列舉法，即可得到；
（2）由新定義，得到軌跡方程，再由圖象關(guān)于x，y，原點(diǎn)都對(duì)稱，即可得到軌跡；
（3）運(yùn)用新定義，列出方程，以及根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得到最小值，再通過列舉即可得到格點(diǎn)．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則有新定義可得，|x|+|y|=2，
則滿足條件的格點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2），（0，-2），（1，1），
（1，-1），（-1，1），（-1，-1），（2，0），（-2，0）；
（2）①動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為|x+1|+|x-1|+2|y|=4，如圖1所示軌跡為六邊形．
②|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=4，如圖2所示軌跡為正方形及內(nèi)部．
③|x+1|+|x-1|+|y-1|+|y+1|=8，如圖3所示軌跡是八邊形．
（3）設(shè)滿足條件的格點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則由①，得|x+1|+|y+1|=|x-1|+|y-1|，當(dāng)x≥1，y≥1，x+y+2=x+y-2不成立；
當(dāng)x≤-1，y≤-1，方程也不成立；當(dāng)x≥1，y≤-1，x+1-y-1=x-1+1-y成立；
當(dāng)x≤-1，y≥1，也成立；當(dāng)x≥1，-1＜y＜1，x+1+y+1=x-1+1-y，則y=-1；
當(dāng)x≤-1，-1＜y＜1，則y=1；當(dāng)-1＜x＜1，y≥1，x+1+y+1=1-x+y+1，則x=0；
當(dāng)-1＜x＜1，y≤-1，x+1-y-1=1-x+1-y，則x=1；當(dāng)-1＜x＜1，-1＜y＜1，
x+1+y+1=1-x+1-y，則x+y=0．
由②得，到C（-2，-2）、D（2，2）兩點(diǎn)的“
直角距離”之和d=|x+2|+|x-2|+|y+2|+|y-2|≥
|（2+x）+（2-x）|+|（2+y）+（2-y）|
=4+4=8，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤2且-2≤y≤2，取得最小值8．
綜合上面，可得格點(diǎn)為（2，-1），（2，-2），（1，-1），（1，-2），（0，0），（-1，2），（-1，1），（-2，2），（-2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題新定義的理解和運(yùn)用，考查分類討論的思想方法及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于壓軸題和難題．