Question

已知函數(shù)f（x）=lg（a^x-b^x），a＞1＞b＞0
（1）求f（x）的定義域；
（2）在函數(shù)f（x）的圖象上是否存在不同的兩點，使過這兩點的直線平行于x軸；
（3）當a，b滿足什么條件時，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

Answer 1

分析：（1）由對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零求解．
（2）當函數(shù)在定義域上單調(diào)時，則不存在，當函數(shù)在定義域上不單調(diào)時，則存在，所以要證明函數(shù)是否單調(diào)，可用定義法，也可用導數(shù)法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數(shù)的最小值非負即可，由（2）可知是增函數(shù)，所以只要f（1）≥0即可．

解答：解：（1）由a^x-b^x＞0得(

a

b

)x＞1=(

a

b

)0，
由于(

a

b

)＞1所以x＞0，
即f（x）的定義域為（0，+∞）
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂
f(x1)=lg(ax1-bx1)，f(x2)=lg(ax2-bx2)(ax1-bx1)-(ax2-bx2)=(ax1-ax2)+(bx2-bx1)
∵a＞1＞b＞0，
∴y=a^x在R上為增函數(shù)，y=b^x在R上為減函數(shù)，
∴ax1-ax2＜0，bx2-bx1＜0
∴(ax1-bx1)-(ax2-bx2)＜0，即(ax1-bx1)＜(ax2-bx2)
又∵y=lgx在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)．
所以任取x₁≠x₂則必有y₁≠y₂故函函數(shù)f（x）的圖象L不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸．
（3）因為f（x）是增函數(shù)，所以當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），
這樣只需f（1）=lg（a-b）≥0，
即當a-b≥1時，f（x）在（1，+∞）上恒取正值．

點評：本題主要考查函數(shù)的定義域，單調(diào)性及最值，這是�？汲Ｐ碌念愋�，在轉(zhuǎn)化問題和靈活運用知識，方法方法要求較高．