分析 (I)由橢圓性質(zhì)可知|MF|=ca(a2c−xM)=a−caxM,其中c>0,c2=a2-b2,又x M∈[-a,a],故|MF|∈[a-c,a+c],則{a+c=3+√5a−c=3−√5,解之得a,c的值,進一步得到橢圓T的方程.
(II)由題知直線AB的方程為y=23x+2,設(shè)直線l:y=23x+m與橢圓T相切于x軸下方的點M0,則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0,聯(lián)立直線和橢圓方程即可求得m的值,再求出直線AB與直線l距離,則△ABM的面積的最大值可求.
解答 解:(I)由橢圓性質(zhì)可知|MF|=ca(a2c−xM)=a−caxM,其中c>0,c2=a2-b2,
∵x M∈[-a,a],故|MF|∈[a-c,a+c],則{a+c=3+√5a−c=3−√5,解之得{a=3c=√5.
故b2=a2-c2=4,橢圓T的方程為x29+y24=1.
(II)由題知直線AB的方程為y=23x+2,設(shè)直線l:y=23x+m與橢圓T相切于x軸下方的點M0(如上圖所示),則△ABM0的面積為△ABM的面積的最大值S0.
則{y=23x+mx29+y24=1即29x2+m3x+m24−1=0,則△=m29−4×29(m24−1)=0解得m=−2√2.
此時,直線AB與直線l距離為2+2√2√1+49=3(2+2√2)√13,而|AB|=√13,S0=12•√13•3(2+2√2)√13=3(1+√2).
∴△ABM的面積的最大值是3(1+√2).
點評 本題考查了橢圓的簡單性質(zhì),考查了點到直線的距離公式,是中檔題.
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k | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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