Question

已知曲線C上動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數(shù)．
（1）求曲線C的軌跡方程；
（2）若過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，求弦AB所在的直線方程；
（3）以曲線C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N，求的最小值，并求此時圓T的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數(shù)，建立方程，化簡，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）由題意，可知斜率k存在，設(shè)l：y-=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得一元二次方程，利用過點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，即可求直線的斜率，從而可得直線的方程；
（3）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0，用坐標(biāo)表示出，利用配方法，確定最小值為-，可得M的坐標(biāo)，從而可求圓T的方程．
解答：解：（1）∵動點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F₁（，0）與定直線l₁：x=的距離之比為常數(shù)．
∴；
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）由題意，可知斜率k存在，設(shè)l：y-=k（x-1）代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²-4k（2k-1）x+（1-2k）²-4=0
因?yàn)檫^點(diǎn)Q（1，）引曲線C的弦AB恰好被點(diǎn)Q平分，所以，解得k=-．
此時△＞0，所以直線l：y-=（x-1），即l：y=．
（3）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），不妨設(shè)y₁＞0．
由于點(diǎn)M在橢圓C上，所以．
由已知T（-2，0），則，，
∴=．
由于-2＜x₁＜2，故當(dāng)x₁=-時，取得最小值為-．
此時，故M（-，），又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得到．
故圓T的方程為：．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．