Question

已知數(shù)列{a_n}中，首項(xiàng)a₁=1，S_n是其前n項(xiàng)的和，并且滿足S_n=n²a_n（n∈N^*）．
（1）試求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）試歸納數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．
（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k+1時(shí)，有a_k=

2

k(k+1)

，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答：解：（1）∵S_n=n²a_n，∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴an+1=

n

n+2

an
∴a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

，a5=

1

15

，
（2）猜測 an=

2

n(n+1)

；下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=

2

k(k+1)

則當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=

k

k+2

ak=

k

k+2

×

2

k(k+1)

=

2

(k+1)(k+2)

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對于任意的n∈N*，都有a_n=

2

n(n+1)

．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推式、數(shù)學(xué)歸納法，第（1）問要注意遞推公式的靈活運(yùn)用，第（2）問要注意數(shù)學(xué)歸納法的證明技巧．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．