Question

考慮以下數列{a_n}，n∈N^*：
①a_n=n²+n+1；
②a_n=2n+1；
③a_n=ln

n

n+1

．
其中滿足性質“對任意的正整數n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的數列有（　　）

• A、①②③
• B、②③
• C、①③
• D、①②

Answer 1

考點：數列的函數特性,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：對于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，故①成立；對于②，數列{2n+1}是等差數列，故②成立；對于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，故③成立．

解答： 解：對于①，

a1+a3

2

=

3+13

2

=8＞a2=7，
因此{a_n}不滿足性質“對任意的正整數n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
對于②，數列{2n+1}是等差數列，故有，

an+2+an

2

=a_n+1，
因此{a_n}滿足性質“對任意的正整數n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
對于③，a_n+2+a_n=ln（

n+2

n+3

•

n

n+1

），2a_n+1=ln（

n+1

n+2

）²，
又

n+2

n+3

•

n

n+1

-(

n+1

n+2

)2=

-2n-3

(n+3)(n+1)(n+2)2

＜0，
即有

an+2+an

2

≤a_n+1，因上{a_n}滿足性質“對任意的正整數n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”．
綜上所述，滿足性質“對任意的正整數n，

an+2+an

2

≤a_n+1都成立”的數列為②③．
故選：B．

點評：本題考查數列對于滿足條件的性質是不存在的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數性質的靈活運用．