如圖,l1,l2是通過某市開發(fā)區(qū)中心0的兩條南北和東西走向的道路,連接M、N兩地的鐵路是一段拋物線弧,它所在的拋物線關(guān)于直線L1對稱.M到L1、L2的距離分別是2 km、4km,N到L1、L2的距離分別是3km、9km.
(1)建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞弧MN的方程.(2)該市擬在點0的正北方向建設(shè)一座工廠,考慮到環(huán)境問題,要求廠址到點0的距離大于5km而不超過8km,并且鐵路上任意一點到工廠的距離不能小于
6
km.求此廠離點0的最近距離.(注:工廠視為一個點)
分析:(1)分別以l1、l2為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標系,則M,N的坐標可知,設(shè)MN所在拋物線的方程把M和N代入即可求得a和c,則拋物線方程可得.
(2)設(shè)出拋物線上任一點P的坐標,廠址為點A,進而根據(jù)兩點間的距離公式表示出|PA|,進而根據(jù)|PA|的范圍求得x和t的不等式關(guān)系,令u=x2,進而求得u的范圍,推斷出對于任意的u∈[4,9],不等式u2+(1-2t)u+(t2-6)≥0恒成立,設(shè)f(u)=u2+(1-2t)u+(t2-6),根據(jù)t的范圍確定-
1-2t
2
的范圍,進而利用△≤0求得t的最小值.
解答:解:(1)分別以l1、l2為x軸、y軸建立如圖所示的
平面直角坐標系,則M(2,4),N(3,9)
設(shè)MN所在拋物線的方程為y=ax2+c,則有
4=4a+c
9=9a+c
,解得
a=1
c=0

∴所求方程為y=x2(2≤x≤3)
(2)設(shè)拋物線弧上任意一點P(x,x2)(2≤x≤3)
廠址為點A(0,t)(5<t≤8),由題意得|PA|=
x2+(x2-t)2
6

∴x4+(1-2t)x2+(t2-6)≥0
令u=x2,∵2≤x≤3,∴4≤u≤9
∴對于任意的u∈[4,9],不等式u2+(1-2t)u+(t2-6)≥0恒成立(*)
設(shè)f(u)=u2+(1-2t)u+(t2-6),∵5<t≤8
9
2
<-
1-2t
2
15
2

要使(*)恒成立,需△≤0,即(2t-1)2-4(t2-6)≤0
解得t≥
25
4
,∴t的最小值為
25
4

所以,該廠距離點O的最近距離為6.25km
點評:本題主要考查了拋物線的應(yīng)用.考查了學(xué)生分析問題和解決實際問題的能力.
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精英家教網(wǎng)如圖,l1、l2是通過某城市開發(fā)區(qū)中心O的兩條南北和東西走向的街道,連接M、N兩地之間的鐵路線是圓心在l2上的一段圓。酎cM在點O正北方向,且|MO|=3km,點N到l1、l2的距離分別為4km和5km.
(1)建立適當坐標系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于
26
km
,求該校址距點O的最近距離(注:校址視為一個點).

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(1)建立適當坐標系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于,求該校址距點O的最近距離(注:校址視為一個點).

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(1)建立適當坐標系,求鐵路線所在圓弧的方程;
(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于,求該校址距點O的最近距離(注:校址視為一個點).

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(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于,求該校址距點O的最近距離(注:校址視為一個點).

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(2)若該城市的某中學(xué)擬在點O正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題,要求校址到點O的距離大于4km,并且鐵路線上任意一點到校址的距離不能少于,求該校址距點O的最近距離(注:校址視為一個點).

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