Question

（1）已知函數(shù)f（x）=a^x-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數(shù)a，x₀（x₀≠3，保留4位有效數(shù)字），使得f（x₀）＜0成立；
（2）在曲線y=x-

2

x

上存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱，求出其坐標(biāo)；若曲線y=x+

p

x

（p≠0）上存在兩個不同點關(guān)于直線y=x對稱，求實數(shù)p的范圍；
（3）當(dāng)0＜a＜1時，就函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并取a=

1

16

及a=

2

2

加以研究．當(dāng)0＜a＜1時，就函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數(shù)f（x）=xlnx有如下性質(zhì)：在區(qū)間(0，

1

e

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

1

e

，1)上單調(diào)遞增．解題過程中可以利用；②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分．）

Answer 1

分析：（1）①把x=3代入函數(shù)解析式，求出f（3），即可把f（3）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，解此不等式，即可求出a的范圍．
②因為滿足f（x₀）＜0一組數(shù)a，x₀有無數(shù)多個，只要寫出一組即可，注意a在（1）中所求范圍內(nèi)取值，在相應(yīng)的找出x₀的值．
（2）先設(shè)出曲線上關(guān)于y=x對稱的兩點坐標(biāo)，代入曲線方程，利用兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可解出這兩點
（3）提出的問題是：當(dāng)a∈（0，

1

e

）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；當(dāng)a∈[

1

e

，1）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．把a=

1

16

及a=

2

2

代入兩個函數(shù)解析式，分別求出交點，驗證是否與提出的問題一致．

解答：解：（1）①∵f（x）=a^x-x（a＞1），f（3）＜0
∴a³-3＜0，解得a＜

3	3

又∵a＞1，∴a的取值范圍為（1，

3	3

）
②答案不唯一，例如可寫a=1，1，x₀=2
（2）設(shè)曲線y=x-

2

x

上兩個對稱點為（m，n），（n，m），
于是

n=m- 2 m m=n- 2 n

，
m-

2

m

-

2

m- 2 m

=m⇒m2=1，m=±1，
當(dāng)m=1時，n=-1，當(dāng)m=-1時，n=1
所以兩個對稱點為（1，-1），（-1，1），
（3）提出的問題是：當(dāng)a∈（0，

1

e

）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有3個交點；
當(dāng)a∈[

1

e

，1）時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象有1個交點．
舉例研究如下：顯然，當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a^x與y=log_ax的圖象在直線y=x上有一個交點．
當(dāng)a=

1

16

時，有3個交點，1個在直線y=x上，另2個為(

1

2

，

1

4

)、(

1

4

，

1

2

)
當(dāng)a=

2

2

時，有1個交點，在直線y=x上．

點評：本題主要考查了利用函數(shù)解不等式，以及函數(shù)與曲線方程之間的關(guān)系．