Question

15．已知直線y=1-x與雙曲線ax²+by²=1（a＞0，b＜0）的漸近線交于A，B兩點(diǎn)，且過(guò)原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $-\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
• D． $-\frac{{2\sqrt{3}}}{27}$

Answer 1

分析 求得雙曲線的漸近線方程，將直線y=1-x聯(lián)立，求得交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，可得中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線的斜率公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線ax²+by²=1（a＞0，b＜0）的漸近線方程為
y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
把y=1-x代入y=±$\sqrt{\frac{a}{-b}}$x，
可得A（$\frac{1}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1+\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），B（$\frac{1}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$，$\frac{-\sqrt{\frac{a}{-b}}}{1-\sqrt{\frac{a}{-b}}}$），
可得AB的中點(diǎn)M為（$\frac{1}{1+\frac{a}}$，$\frac{\frac{a}}{1+\frac{a}}$）
由過(guò)原點(diǎn)和線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即有k_OM=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$\frac{a}$=$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程求交點(diǎn)，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．