Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；

（2）證明：不等式對(duì)于正整數(shù)恒成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）第（1）問(wèn)，方法一，構(gòu)造函數(shù)，再分析f(x)的最大值和零的關(guān)系得到a的取值范圍.方法二，分離參數(shù)得到恒成立，即a大于F(x)的最大值. (2)第（2）問(wèn)，先要把證明的不等式轉(zhuǎn)化，再由第（1）問(wèn)，恒成立，得到恒成立，把數(shù)列的通項(xiàng)放縮，對(duì)數(shù)列求和，再化簡(jiǎn)證明不等式.

試題解析：

（1）法一：記，

則，，

①當(dāng)時(shí)，

∵，∴，∴在上單減，

又，∴，即在上單減，

此時(shí)，，即,所以a≥1.

②當(dāng)時(shí)，

考慮時(shí)，，∴在上單增，

又，∴，即在上單増，,不滿(mǎn)足題意.

綜上所述，.

法二：當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，

，記，則，

∴在上單減，∴，

∴，即在上單減，，故.

（2）由（1）知：取，當(dāng)時(shí)，恒成立，

即恒成立，即恒成立，

即對(duì)于恒成立，

由此，，，

于是

，

故.