Question

【題目】已知橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn).

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與直線的斜率互為相反數(shù).若直線與橢圓交于兩點(diǎn)且均不與點(diǎn)重合,設(shè)直線與軸所成的銳角為,直線與軸所成的銳角為,判斷與的大小關(guān)系并加以證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為,且過(guò)點(diǎn)，結(jié)合性質(zhì) ，列出關(guān)于 、 、的方程組，求出 、 、，即可得橢圓的方程；（Ⅱ） 與的大小關(guān)系只需看兩直線斜率之間的關(guān)系，設(shè)設(shè)，聯(lián)立,消去得,利用斜率公式以及韋達(dá)定理，化簡(jiǎn)可得，直線的傾斜角互補(bǔ),可得.

試題解析：（Ⅰ）由題可得,解得.

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）結(jié)論: ,理由如下:

由題知直線斜率存在,

設(shè).

聯(lián)立,

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達(dá)定理得,

因?yàn)?/span>與斜率相反且過(guò)原點(diǎn),

設(shè), ,

聯(lián)立

消去得,

由題易知恒成立,

由韋達(dá)定理得,

因?yàn)?/span>兩點(diǎn)不與重合,

所以直線存在斜率,

則

所以直線的傾斜角互補(bǔ),

所以.