Question

1．某校為了解本校學(xué)生的課后玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查．如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生每天玩電腦游戲的時(shí)長(zhǎng)的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)抽取樣本的平均數(shù)$\overline{x}$和眾數(shù)m（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
（Ⅱ）已知樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在[50，60]的學(xué)生中，男生比女生多1人，現(xiàn)從中選3人進(jìn)行回訪，記選出的男生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列與期望E（ξ）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖中，[30，40）對(duì)應(yīng)的小矩形最高，能求出m，由頻率分布直方圖，能求出抽取樣本的平均數(shù)$\overline{x}$．
（Ⅱ）樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在[50，60]的學(xué)生為5人，其中男生3人，女生2人，則ξ的可能取值為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）∵頻率分布直方圖中，[30，40）對(duì)應(yīng)的小矩形最高，∴m=35，
由頻率分布直方圖，得：
$\overline x=5×0.1+15×0.18+25×0.22+35×0.25+45×0.2+55×0.05=29.2$．
（Ⅱ）樣本中玩電腦游戲時(shí)長(zhǎng)在[50，60]的學(xué)生為0.05×100=5人，
其中男生3人，女生2人，則ξ的可能取值為1，2，3
$P（ξ=1）=\frac{C_3^1C_2^2}{C_5^3}=\frac{3}{10}$，
$P（ξ=2）=\frac{C_3^2C_2^1}{C_5^3}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
$P（ξ=3）=\frac{C_3^3}{C_5^3}=\frac{1}{10}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	1	2	3
P（ξ）	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{10}$

所以$E（ξ）=1×\frac{3}{10}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{10}=\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查樣本平均數(shù)、眾數(shù)的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)、頻率分布直方圖的性質(zhì)的合理運(yùn)用．