設數(shù)列{an}的前n項和Sn，若對于任意的n∈N*，都有Sn＝2an－3n．

(1)求數(shù)列{an}的首項與遞推關系式an+1＝f(an)；

(2)先閱讀下面的定理，若數(shù)列有遞推關系：an+1＝Aan＋B，其中A、B為常數(shù)，且A≠1，B≠0，則數(shù)列{an－}是以A為公比的等比數(shù)列，請你在第(1)題的基礎上應用本定理，求數(shù)列{an}的通項公式；

(3)求數(shù)列{an}的前n項和Sn．

答案：
解析：

　　解：(1)令n＝1，a1＝S1＝2a1－3，∴a1＝3．

　　又Sn+1＝2an+1－3(n＋1)，Sn＝2an－3n．

　　兩式相減得an+1＝2an+1－2an－3，

　　∴an+1＝2an＋3．

　　(2)按照定理A＝2，B＝3，則＝－3，

　　∴{an＋3}是公比為2的等比數(shù)列，其首項為a1＋3＝6．

　　∴an＋3＝6×2n－1．∴an＝6×2n－1－3．

　　(3)Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

　�。�(6×20－3)＋(6×21－3)＋(6×22－3)＋…＋(6×2n－1－3)

　　＝(6×20)＋(6×21)＋(6×22)＋…＋(6×2n－1)－3n

　�。�6×(20＋21＋22＋…＋2n－1)－3n

　　＝6×－3n＝6×2n－3n－6．

　　思路解析：(1)要建立an+1和an的關系，可由an+1＝Sn+1－Sn得出；

　　(2)給出了一個定理，需同學們自己閱讀，考查了觀察問題、研究問題的能力；

　　(3)可用拆項法求和．


提示：

解決此類問題需綜合數(shù)列的有關知識，并要有較強的創(chuàng)新能力，同學們要加強這方面的練習．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項的和為Sn，且Sn=3n+1．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設bn=an（2n-1），求數(shù)列{bn}的前n項的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列an的前n項的和為Sn，a1=
3
2
，Sn=2an+1-3．
（1）求a2，a3；
（2）求數(shù)列an的通項公式；
（3）設bn=(2log
3
2
an+1)•an，求數(shù)列bn的前n項的和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2an+
3
2
×（-1）n-
1
2
，n∈N*．
（Ⅰ）求an和an-1的關系式；
（Ⅱ）求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅲ）證明：
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜
10
9
，n∈N*．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域為Dn，若Dn內(nèi)的整點（整點即橫坐標和縱坐標均為整數(shù)的點）個數(shù)為an（n∈N*）
（1）寫出an+1與an的關系（只需給出結(jié)果，不需要過程），
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設數(shù)列an的前n項和為Sn且Tn=
Sn
5•2n
，若對一切的正整數(shù)n，總有Tn≤m成立，求m的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•鄭州一模）設數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-1，則
S4
a3
的值為（　　）

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