Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f^-1（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log_a（x-a），h（x）=f^-1（x）+g（x），如果當(dāng)x∈[a+2，+∞）時，h（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）f^-1（x）=log_a（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）
（2）h（x）=f^-1（x）+g（x）=log_a（x-3a）+log_a（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²），x∈（3a，+∞）．…（6分）
依題意，a+2＞3a?0＜a＜1．…（8分）
由h（x）≤1?log_a（x²-4ax+3a²）≤1?x²-4ax+3a²≥a，即x²-4ax+3a²-a≥0．…（10分）
設(shè)T（x）=x²-4ax+3a²-a，其對稱軸x=2a＜a+2，所以函數(shù)T（x）在[a+2，+∞）單調(diào)遞減．
由T（x）_min=T（a+2）=（a+2）²-4a（a+2）+3a²-a=4-5a≥0，解得．…（13分）
又0＜a＜1，所以a的取值范圍是．…（14分）
分析：（1）根據(jù)求反函數(shù)的基本方法求出反函數(shù)即可；
（2）先求出h（x）的解析式，依題意，a+2＞3a?0＜a＜1，根據(jù)h（x）≤1即x²-4ax+3a²-a≥0，設(shè)T（x）=x²-4ax+3a²-a，求出函數(shù)T（x）的最小值，使最小值大于等于0，即可求出a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題主要考查了反函數(shù)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性解恒成立問題，屬于中檔題．