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5.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AA1,CC1的中點(diǎn),P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),若A1P∥平面BEF,則線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍是[305,2].

分析 取BB1的中點(diǎn)M,連結(jié)A1C1,A1M,C1M,推導(dǎo)出平面BEF∥平面A1MC1,由此得到線段A1P長(zhǎng)度的最大值為A1C1=2,最小值為點(diǎn)A1到線段C1M的距離d,從而能求出線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍.

解答 解:取BB1的中點(diǎn)M,連結(jié)A1C1,A1M,C1M,
∵在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是棱AA1,CC1的中點(diǎn),
∴BE∥A1M,BF∥C1M,
∵BE∩BF=B,A1M∩C1M=M,BE,BF?平面BEF,A1M,C1M?平面A1MC1,
∴平面BEF∥平面A1MC1,
∵P是側(cè)面BCC1B1內(nèi)一點(diǎn),A1P∥平面BEF,∴P∈線段C1M,
∵A1C1=2,A1M=C1M=52,
∴線段A1P長(zhǎng)度的最大值為A1C1=2,最小值為點(diǎn)A1到線段C1M的距離d,
以D為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,
則A1(1,0,1),M(1,1,12),C1=(0,1,1),C1A1=(1,-1,0),C1M=(1,0,-12),
∴點(diǎn)A1到線段C1M的距離:
d=|C1A1|1[cosC1A1C1M]2=2×112522=305
∴線段A1P長(zhǎng)度的取值范圍是[3052].
故答案為:[305,2].

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)、線、面間的距離問(wèn)題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力,屬中檔題,解決本題的關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造平行平面尋找P點(diǎn)位置.

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