Question

（本題滿分14分）

如圖，已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面，且PA=AB=AC．

（Ⅰ）求證：PA∥平面QBC；

（Ⅱ）若，求二面角Q-PB-A的余弦值。

 

Answer 1

【答案】

(1)通過已知中的平面⊥平面，那么結(jié)合平面，和⊥平面，從而得到線線平行∥，利用線面平行的性質(zhì)來證明。

(2)

【解析】

試題分析：解：（I）證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平面⊥平面  ∴平面

又∵⊥平面

∴∥ 又∵平面

∴∥平面……6分

（Ⅱ）∵平面

∴ 又∵

∴  ∴

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則

∴平面  ∴∥，

∴四邊形是矩形  ……8分

設(shè)

∴，  ∴

過作于點(diǎn)，

∴，

取中點(diǎn)，連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)

∵， ∴∥

∵  ∴   ∴

∴為二面角的平面角……12分

連結(jié)，則 又∵

∴

即二面角的余弦值為……14分

方法二:

（I）同方法一   ……………………………………6分

（Ⅱ）∵平面

∴，又∵

∴  ∴

∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，連結(jié)，則

∴平面  ∴∥，

∴四邊形是矩形  ……………………8分

分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，則，，，

設(shè)平面的法向量為

∵，

∴

又∵平面的法向量為 ……12分

設(shè)二面角為，則

又∵二面角是鈍角

∴ ………………………………14分

考點(diǎn)：本試題考查了空間中平行的證明，以及二面角的求解。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定定理分析得到第一問，這是一般的解題思路，同時(shí)對(duì)于二面角的求解可以先作，后證明，再解，也可以建立直角坐標(biāo)系，進(jìn)而結(jié)合向量的知識(shí)來分析得到結(jié)論，屬于中檔題。