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19.已知向量:a=(cosx,sinx),\overrightarrow=(cosy,siny),c=(sinx,cosx),|a-\overrightarrow|=255
(1)求cos(x-y)的值;
(2)若函數(shù)f(x)=ac的圖象向左平移m(m>0)個單位后,得到函數(shù)g(x)的圖象關(guān)干y軸對稱,求實(shí)數(shù)m的最小值.

分析 (1)運(yùn)用平方法,結(jié)合向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì),向量的平方即為模的平方,再由兩角的差的余弦公式,計算即可得到所求值;
(2)運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,利用二倍角的正弦可得f(x)=2cosxsinx=sin2x,再利用三角函數(shù)的平移變換可得f(x+m)=sin(2x+2m),其圖象關(guān)于y軸對稱,可求得m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}(k∈Z),又m>0,從而可得答案.

解答 解:(1)\overrightarrow{a}=(cosx,sinx),\overrightarrow=(cosy,siny),|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\frac{2\sqrt{5}}{5},
可得\overrightarrow{a}2=\overrightarrow2=1,\overrightarrow{a}\overrightarrow=cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y),
由(\overrightarrow{a}-\overrightarrow2=\frac{4}{5},即為1+1-2cos(x-y)=\frac{4}{5},
解得cos(x-y)=\frac{3}{5};
(2)∵f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow{c}=cosxsinx+sinxcosx=sin2x,
∴f(x+m)=sin[2(x+m)]=sin(2x+2m),
∵y=sin(2x+2m)的圖象關(guān)于y軸對稱,
∴2m=kπ+\frac{π}{2},∴m=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}(k∈Z),又m>0,
∴mmin=\frac{π}{4}

點(diǎn)評 本題考查斜率的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì),向量的平方即為模的平方,考查二倍角的正弦及函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,考查余弦函數(shù)的對稱性,屬于中檔題.

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