Question

（Ⅰ）求以點F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）分別為左右焦點，且經(jīng)過點P（3，-2）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求中心在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，離心率為，且經(jīng)過點P（4，-）的雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由橢圓的焦點坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）可得橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），將點P（3，-2）的坐標(biāo)代入，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）由于焦點坐標(biāo)可能以x軸上，也可能在y軸上，故應(yīng)分為兩種情況，結(jié)合雙曲線的離心率為，且經(jīng)過點P（4，-）構(gòu)造方程，解方程可得雙曲線的方程．
解答：解：（I）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0）
∵橢圓的焦點坐標(biāo)為F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）
且經(jīng)過點P（3，-2）
故
解得a²=36，b²=32
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（II）∵雙曲線的離心率為，
故雙曲線為等軸雙曲線，即a=b
若焦點在x軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
將點P（4，-）代入得a²=6
故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
若焦點在y軸上，可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
將點P（4，-）代入得a²=-6（舍去）
綜上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
點評：本題是中檔題，考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，熟練掌握待定系數(shù)法求圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法過程是解答的關(guān)鍵．