Question

7．已知點Q為拋物線C：y²=2px（0＜p＜6）上任意一點，Q到拋物線C準線的距離與其到點N（7，8）距離之和最小值是10，過x軸的正半軸上的點T（t，0）的直線l交拋物線于A，B兩點．
（1）求拋物線方程；
（2）是否存在實數(shù)t，使得不論直線l繞點T如何轉(zhuǎn)動，$\frac{1}{|AT{|}^{2}}$+$\frac{1}{|BT{|}^{2}}$為定值？

Answer 1

分析 （1）分N在拋物線內(nèi)外兩種情況討論，根據(jù)拋物線的性質(zhì)列方程得出p；
（2）設(shè)l方程為x=my+t，聯(lián)立方程組得出A，B兩點坐標與m，t的關(guān)系，代入兩點間的距離公式化簡即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）①若N在拋物線內(nèi)部，
則Q到拋物線C準線的距離與其到點N距離之和得最小值等于N到準線的距離，
∴$\frac{p}{2}$+7=10，解得p=6，不符合題意．
②若N在拋物線外部，則Q到拋物線C準線的距離與其到點N（7，8）距離之和的最小值等于|NF|．
∴$\sqrt{（7-\frac{p}{2}）^{2}+{8}^{2}}$=10，解得p=2．
∴拋物線方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線l的方程為x=my+t，
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{x=my+t}\end{array}\right.$，得y²-4my-4t=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4t．
∴$\frac{1}{|AT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-t）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}$．
$\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{2}-t）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{{m}^{2}{{y}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{2}}^{2}}$．
∴$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（1+{m}^{2}）{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{（1+{m}^{2}）{{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+\frac{t}{2}}{（1+{m}^{2}）{t}^{2}}$．
∴當(dāng)$\frac{t}{2}$=1即t=2時，$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$=$\frac{1}{4}$．
∴存在實數(shù)t=2使得$\frac{1}{|AT{|}^{2}}+\frac{1}{|BT{|}^{2}}$為定值．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．