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4.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的短軸長為22,且斜率為3的直線l過橢圓C的焦點(diǎn)及點(diǎn)(0,-23).
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知一直線m過橢圓C的左焦點(diǎn)F,交橢圓于點(diǎn)P、Q,若直線m與兩坐標(biāo)軸都不垂直,點(diǎn)M在x軸上,且使MF為∠PMQ的一條角平分線,求點(diǎn)M的坐標(biāo).

分析 (1)直線l的方程為y=3x23,焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),又橢圓C的短軸長為22,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0),左焦點(diǎn)為F(-2,0),設(shè)直線PQ的方程為x=yk2,與橢圓聯(lián)立,得(1k2+3)y2-4yk-2=0,由此利用韋達(dá)定理、角平分線性質(zhì)、橢圓性質(zhì),結(jié)合已條條件能求出點(diǎn)M坐標(biāo).

解答 解:(1)由題意可知,直線l的方程為y=3x23,…(1分)
∵直線l過橢圓C的焦點(diǎn),
∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),∴c=2,又橢圓C的短軸長為22
∴b=2,∴a2=b2+c2=4+2=6,
∴橢圓C的方程為x26+y22=1.…(4分)
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0),左焦點(diǎn)為F(-2,0),可設(shè)直線PQ的方程為x=yk2
{x=yk2x26+y22=1,消去x,得(1k2+3)y2-4yk-2=0,
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1+y2=4k3k2+1,y1•y2=2k23k2+3,…(8分)
∵M(jìn)F為∠PMQ的一條角平分線,∴kPM+kQM=0,即y1x1m+y2x2m=0,…(9分)
x1=y1k2,x2=y2k2,代入上式可得2ky1y22y1+y2my1+y2=0,
2k2k21+3k22+m4k1+3k2=0,解得m=-3,
∴點(diǎn)M(-3,0).…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法,考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意韋達(dá)定理、角平分線性質(zhì)、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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