Question

已知函數f（x）=ax+

lnx

x

+b．
（1）若f（x）在定義域上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）當a=-

1

2

時，對任意x∈（0，+∞），b∈（-

3

2

，0），xf（x）+c≤0恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）根據f（x）在定義域上單調遞增，在（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立可得a≥-

1-lnx

x2

，構造函數g（x）=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x2

，求其最值即可確定a的范圍；
（2）把f（x）的解析式代入g（x）=xf（x）+c，由g（x）≤0分離變量c，構造輔助函數后利用導數求輔助函數的最小值，從而求得c的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax+

lnx

x

+b，
∴f′（x）=a+

1-lnx

x2

，
∵f（x）在定義域上單調遞增，
∴在（0，+∞）上f′（x）≥0恒成立，
即a≥-

1-lnx

x2

，
令g（x）=-

1-lnx

x2

=

lnx-1

x2

，則g′（x）=

x-2x(lnx-1)

x4

=

3-2lnx

x3

，
當g′（x）＞0，即0＜x＜e

3

2

時，f（x）單調遞增，
當g′（x）＜0，即x＞e

3

2

時，f（x）單調遞減，
∴g(x)max=g(e

3

2

)=

1

2e3

．
綜上，f（x）在定義域上單調遞增時，a≥

1

2e3

．

（2）由g（x）=xf（x）+c=lnx-

1

2

x2+bx+c≤0恒成立，
∴c≤

1

2

x2-bx-lnx．
記h（x）=

1

2

x2-bx-lnx（x＞0），則c≤h（x）_min．
h′（x）=x-b-

1

x

，令h′（x）=0，得x²-bx-1=0．
∴x=

b+ b2+4

2

．
當0＜x＜

b+ b2+4

2

時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，
當x＞

b+ b2+4

2

時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，h（x）min=h（

b+ b2+4

2

）
令t=

b+ b2+4

2

，則t²-bt-1=0，即-bt=1-t²
∴h（

b+ b2+4

2

）=

1

2

t²+1-t²-lnt=-

1

2

t²-lnt+1
令r（t）=-

1

2

t²-lnt+1．
∵b∈（-

3

2

，0）時，t=

b+ b2+4

2

∈（

1

2

，1）．
又r（t）在（

1

2

，1）上單調遞減，
∴r（t）＞r（1）=

1

2

，
∴b∈（-

3

2

，0）時，h（x）_min＞

1

2

∴c≤

1

2

．
故c的取值范圍是（-∞，

1

2

]．

點評：本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程，訓練了利用導數求函數的最值，體現(xiàn)了數學轉化思想方法、分離變量法和函數構造法，解答的關鍵是對導函數零點的討論，是高考試卷中的壓軸題．