Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，它的前n項和S_n滿足，并且a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項和，求證：．

Answer 1

解：（1）當(dāng)n=1時，，∴a₁=1或a₁=2
當(dāng)n≥2時，①
∵
∴①-②，并整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0
∵數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)
∴a_n-a_n-1=3
當(dāng)a₁=1時，a_n=3n-2，此時滿足a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列．
當(dāng)a₁=2時，a_n=3n-1，此時不滿足a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列
∴a_n=3n-2
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得
∴=
∴
分析：（1）先利用條件，求出數(shù)列的首項，再利用當(dāng)n≥2時，，可求數(shù)列的通項，利用a₂，a₄，a₉成等比數(shù)列，求出滿足條件的數(shù)列的通項．
（2）利用（1）的結(jié)論，先進行放縮，再利用裂項法可求數(shù)列{b_n}的前n項和，從而得證．
點評：本題以數(shù)列的前n項和為載體，考查數(shù)列通項的求解，考查放縮法，考查裂項法求和，解題的關(guān)鍵是適度放縮，再利用裂項法．