Question

建造一個(gè)容積為8立方米，深為2米的無蓋長方體蓄水池，池壁的造價(jià)為每平方米100元，池底的造價(jià)為每平方米300元，（1）把總造價(jià)y（元）表示為底面一邊長x（米）的函數(shù)，并寫出x的定義域；（2）當(dāng)x何值時(shí)，使總造價(jià)最低．

Answer 1

分析：（1）長方體蓄水池的容積為8立方米，深為2米，其底面積為4平方米；設(shè)底面一邊長為x米，則另一邊長為

4

x

米；因池壁的造價(jià)為每平方米100元，池壁的面積為2（2x+2•

4

x

）平方米，所以池壁的總造價(jià)為100•2（2x+2•

4

x

），池底的造價(jià)為每平方米300元，池底的面積為4平方米，所以池底的總造價(jià)為1200元，故蓄水池的總造價(jià)為：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200（其中x＞0）；
（2）由函數(shù)y=400（x+

4

x

）+1200，利用基本不等式可得函數(shù)y的最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．

解答：解：（1）長方體蓄水池的容積為8立方米，深為2米，因此其底面積為4平方米；
設(shè)底面一邊長為x米，則另一邊長為

4

x

米；
因池壁的造價(jià)為每平方米100元，池壁的面積為2（2x+2•

4

x

）平方米，因此池壁的總造價(jià)為100•2（2x+2•

4

x

）；
池底的造價(jià)為每平方米300元，池底的面積為4平方米，池底的總造價(jià)為1200元；
所以，蓄水池的總造價(jià)為：y=100•2（2x+2•

4

x

）+1200=400•（x+

4

x

）+1200（其中x＞0）．
（2）由函數(shù)y=400（x+

4

x

）+1200≥400×2

x • 4 x

+1200=1600+1200=2800，當(dāng)且僅當(dāng)x=

4

x

，即x=2時(shí)，函數(shù)y有最小值y_min=2800，此時(shí)總造價(jià)最低．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長方體模型的應(yīng)用，也考查了基本不等式a+b≥2

ab

（a＞0，b＞0）的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．