Question

已知函數(shù)f(x)=(1+

1

tanx

)•sin2x-2sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)
（1）若tanα=2，求f（α）的值
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（3）若x∈[

π

12

，

π

2

)，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式第一項(xiàng)利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，第二項(xiàng)利用誘導(dǎo)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)得到結(jié)果，整理后再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin2α和cos2α的值，代入計(jì)算即可求出f（α）的值；
（2）由（1）得出的解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可確定出f（x）的遞增區(qū)間；
（3）由x的范圍求出這個(gè)角的范圍，利用正弦函數(shù)的定義域與值域即可確定出f（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=（1+

cosx

sinx

）•sin²x-2cos（x-

π

4

）sin（x-

π

4

）=sin²x+

1

2

sin2x-sin（2x-

π

2

）=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

，
∵tanα=2，
∴sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

4

5

，cos2α=

cos2α-sin2α

sin2α+cos2α

=

1-tan2α

1+tan2α

=-

3

5

，
則f（α）=

1

2

sin2α+

1

2

cos2α+

1

2

=

3

5

；
（2）由（1）得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

4

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解得：-

3

8

π+kπ≤x≤

π

8

+kπ，k∈Z，
∵x≠kπ，
∴f（x）的增區(qū)間為[-

3

8

π+kπ，kπ）∪（kπ，

π

8

+kπ]，k∈Z；
（3）由x∈[

π

12

，

π

2

]，得2x∈[

π

6

，π]，即2x+

π

4

∈[

5π

12

，

5π

4

），
∴sin（2x+

π

4

）∈（-

2

2

，1]，
則f（x）∈（0，

2 +1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及正弦函數(shù)的定義域和值域，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．