Question

某小型工廠安排甲乙兩種產品的生產，已知工廠生產甲乙兩種產品每噸所需要的原材料A、B、C的數量和一周內可用資源數量如下表所示：

原材料	甲（噸）	乙（噸）	資源數量（噸）
A	1	1	50
B	4	0	160
C	2	5	200

如果甲產品每噸的利潤為300元，乙產品每噸的利潤為200元，那么應如何安排生產，工廠每周才可獲得最大利潤？

Answer 1

分析：設工廠一周內安排生產甲產品x噸、乙產品y噸，抽象出約束條件

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

，所獲周利潤為z元，依據題意，得目標函數為z=300x+200y，，然后求得最優(yōu)解，即求得利潤的最大值和最大值的狀態(tài)．

解答：解：設工廠一周內安排生產甲產品x噸、乙產品y噸，所獲周利潤為z元．　�。�2分）
依據題意，得目標函數為z=300x+200y，（4分）
約束條件為

x+y≤50 4x≤160 2x+5y≤200 y≥0 x≥0

．　　　　　　　　　　　�。�8分）
欲求目標函數z=300x+200y的最大值．
先畫出約束條件的可行域，求得有關點A(40，0)、B(40，10)、C(

50

3

，

100

3

)、D(0，40)，如圖陰影部分所示．
將直線300x+200y=0向上平移，可以發(fā)現(xiàn)，經過可行域的點B時，函數z=300x+200y的值最大（也可通過代凸多邊形端點進行計算，比較大小求得），最大值為14000（元）．　　　�。�11分）
所以工廠每周生產甲產品40噸，乙產品10噸時，工廠可獲得的周利潤最大（14000元）．（12分）

點評：本題主要考查用簡單的線性規(guī)劃研究目標函數的最大和最小值，關鍵是通過平面區(qū)域，求得最優(yōu)解，屬于線性規(guī)劃的應用題．