已知ABC—A1B1C1是各棱長都相等的正三棱柱，D是BC上一點，∠ADC1=90°．求二面角D—AC1—C的大小．

 

答案：
解析：

解：∵CC1⊥底面ABC，∠ADC1=90°，

∴由三垂線定理得BC⊥AD

∴△ABC為正三角形，

∴D為BC的中點．

過C作CE⊥C1D于E，

∵AD⊥平面BB1C1C，∴CE⊥AD，

∴CE⊥平面ADC1．

過點E作EF⊥AC1于F，連結(jié)EF，則CF⊥AC1．

∴∠EFC為二面角D—AC1—C的平面角．

設(shè)棱柱的棱長為a，則CD=．

在△C1CD中，CC1=a，

C1D=

∴CE=

∵△ACC1為等腰三角形，

∴CF=CC1=．

∴sinCFE=．

∴二面角D—AG1—C的大小為arcsin．

點評：本題作二面角的平面角的方法是“垂線法”．過點D作DO⊥AC于O(易證DO⊥平面ACC1)，利用DO作二面角D—AC1—C的平面角也可．

 


練習(xí)冊系列答案
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（2013•松江區(qū)二模）如圖，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC1的中點．
（1）求異面直線A1D與BC所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求直線A1B1到平面DAB的距離．

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如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D1是棱B1C1的中點．
（I）求證：A1D1⊥平面BB1C1C；
（II）已知線段A1B1上的一點P，滿足直線AP與平面A1D1C所成角的正弦值為
30
15
，求
A1P
A1B1
的值．

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如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D1是棱B1C1的中點．
（I）求證：A1D1⊥平面BB1C1C；
（II）已知線段A1B1上的一點P，滿足直線AP與平面A1D1C所成角的正弦值為數(shù)學(xué)公式的值．

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如圖，已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是2，D為側(cè)棱CC1的中點．
（1）求異面直線A1D與BC所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；
（2）求直線A1B1到平面DAB的距離．
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如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，AB=2，點D1是棱B1C1的中點．
（I）求證：A1D1⊥平面BB1C1C；
（II）已知線段A1B1上的一點P，滿足直線AP與平面A1D1C所成角的正弦值為的值．

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