Question

4．已知f（x）為偶函數(shù)，當x≥0時，f（x）=m（|x-2|+|x-4|），（m＞0），若函數(shù)y=f[f（x）]-4m恰有4個零點，則實數(shù)m的取值范圍（　�。�

• A． $（{0，\frac{1}{6}}）$
• B． $（{0，\frac{1}{6}}）∪（{\frac{5}{6}，\frac{5}{2}}）$
• C． $（{0，\frac{1}{4}}）∪（{\frac{5}{4}，\frac{5}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{1}{4}}）$

Answer 1

分析 利用換元法將函數(shù)進行轉化，利用數(shù)形結合以及分類討論進行求解即可．

解答 解：設f（x）=t，（t＞0）
則由y=f[f（x）]-4m=0得f[f（x）]=4m，
即f（t）=4m，
則m（|t-2|+|t-4|）=4m，
則|t-2|+|t-4|=4，
得t=5，或t=1，
若t=1，則f（x）=m（|x-2|+|x-4|）=1，即|x-2|+|x-4|=$\frac{1}{m}$，
若t=5，則f（x）=m（|x-2|+|x-4|）=5，即|x-2|+|x-4|=$\frac{5}{m}$，
設g（x）=|x-2|+|x-4|，（x≥0），
∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∴要使函數(shù)y=f[f（x）]-4m恰有4個零點，
則等價為當x≥0時，函數(shù)y=f[f（x）]-4m恰有2個零點，
作出g（x）在[0，+∞）上的圖象如圖：
①$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}＜2}\\{2＜\frac{5}{m}＜6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m＞\frac{1}{2}}\\{\frac{5}{6}＜m＜\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，即$\frac{5}{6}$＜m＜$\frac{5}{2}$，
②$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{m}＞6}\\{\frac{5}{m}＞6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{0＜m＜\frac{1}{6}}\\{0＜m＜\frac{5}{6}}\end{array}\right.$，即0＜m＜$\frac{1}{6}$，
綜上實數(shù)m的取值范圍是$（{0，\frac{1}{6}}）∪（{\frac{5}{6}，\frac{5}{2}}）$，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法結合函數(shù)與方程之間的關系，利用數(shù)形結合以及分類討論進行求解是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．