Question

12．若不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．

Answer 1

分析 由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$＞|a|+1，利用基本不等式的性質(zhì)可得：$|x+\frac{1}{x}{|}_{min}$，即可得出．

解答 解：∵|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1時(shí)取等號(hào)．
由不等式|x+$\frac{1}{x}$|＞|a|+1對(duì)于一切非零實(shí)數(shù)x恒成立，
∴2＞|a|+1，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-1，1）．
故答案為：（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．