Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁作圓：x²+y²=

a2

4

的切線(xiàn)，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)F₁E交雙曲線(xiàn)右支于點(diǎn)P，若|OP|=

1

2

|F₁F₂|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由切線(xiàn)的性質(zhì)可得OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，則E為PF₁的中點(diǎn)，運(yùn)用中位線(xiàn)定理可得|PF₂|=a，再由雙曲線(xiàn)定義可得|PF₁|=3a，再由勾股定理和離心率公式計(jì)算即可得到．

解答： 解：∵|OF|=c，|OE|=

a

2

，
由于OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，
則E為PF₁的中點(diǎn)，
|PF₂|=2|OE|=a，
由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF₁|=|PF₂|+2a=3a，
由于OE∥PF₂，
則PF₁⊥PF₂，
則|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即為9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
則e²=

c2

a2

=

10

4

，
即有e=

10

2

．
故答案為：

10

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的定義、方程和性質(zhì)及應(yīng)用，考查中位線(xiàn)定理和切線(xiàn)的性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．