Question

19．在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=2AD，若將△ABD沿直線BD折成△A′BD，使得A′D⊥BC，則直線A′B與平面BCD所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 過D作DE⊥BC于E，連結(jié)A′E，過A′作A′O⊥DE，連結(jié)A′O．則可證明A′O⊥平面BCD，于是∠A′BO為直線A′B與平面BCD所成的角．設(shè)AD=1，在直角梯形中根據(jù)平面幾何知識解出DO，從而得出A′O，得出線面角的正弦值．

解答 解：過D作DE⊥BC于E，連結(jié)A′E，過A′作A′O⊥DE，連結(jié)A′O．
∵BC⊥A′D，BC⊥DE，A′D∩A′O=A′，
∴BC⊥平面A′DE，∵A′O?平面A′DE，
∴BC⊥A′O，又A′O⊥DE，BC∩DE=E，
∴A′O⊥平面BCD．
∴∠A′BO為直線A′B與平面BCD所成的角．
在直角梯形ABCD中，過A作AO⊥BD，交BD于M，交DE于O，
設(shè)AD=1，則AB=2，∴BD=$\sqrt{5}$，
∴AM=$\frac{AB•AD}{BD}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，∴DM=$\sqrt{A{D}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$．
由△AMD∽△DMO得$\frac{DM}{AM}=\frac{OD}{AD}$，即$\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}}{\frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{DO}{1}$，∴DO=$\frac{1}{2}$．
∴A′O=$\sqrt{A′{D}^{2}-D{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴sin∠A′BO=$\frac{A′O}{A′B}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 本題考查了線面角的作法與計算，根據(jù)條件構(gòu)造線面垂直得出線面角是解題關(guān)鍵．