如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E,使得∠BA1E=45°,若存在,試確定E的位置,并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直?若不存在,請(qǐng)說明理由.

證明:(1)連接AB1與A1B相較于點(diǎn)M,連接MD,則點(diǎn)M為AB1的中點(diǎn).
又D為AC的中點(diǎn),由三角形的中位線定理可得:MD∥B1C.
又∵B1C?平面A1BD,MD?平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD;
(2)∵AB=B1B,及直三棱柱ABC-A1B1C1中,
∴四邊形ABB1A1為正方形,BB1⊥B1C1
∴A1B⊥AB1
又AC1⊥平面A1BD,∴AC1⊥A1B,
又AB1∩AC1=A.
∴A1B⊥平面AB1C1,∴A1B⊥B1C1
∵A1B∩BB1=B,∴B1C1⊥平面ABB1A1
(3)設(shè)AB=a,CE=x,∵B1C1⊥A1B1,在Rt△A1B1C1中,有,同理,∴C1E=a-x.
=,
∴在△A1BE中,由余弦定理得,
即a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-
,
,即E是C1C的中點(diǎn).
∵D、E分別為AC、C1C的中點(diǎn),∴DE⊥AC1
∵AC1⊥平面A1BD,∴DE⊥平面A1BD.
又DE?平面BDE,∴平面A1BD⊥平面BDE.
分析:(1)利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理即可得出;
(2)利用直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理即可證明;
(3)利用面面垂直的判定定理即可證明.
點(diǎn)評(píng):熟練掌握三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定定理、直棱柱的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、線面與面面垂直的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=AC=BC=2,D、E、F分別是AB、AA1、CC1的中點(diǎn),P是CD上的點(diǎn).
(1)求直線PE與平面ABC所成角的正切值的最大值;
(2)求證:直線PE∥平面A1BF;
(3)求直線PE與平面A1BF的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,∠BAC=90°,AB=BB′=1,直線B′C與平面ABC成30°角.
(1)求證:A′B⊥面AB′C;
(2)求二面角B-B′C-A的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC為直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段AA1上,當(dāng)AF=
a或2a
a或2a
時(shí),CF⊥平面B1DF.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;
(Ⅱ)設(shè)E是CC1的中點(diǎn),試求出A1E與平面A1BD所成角的正弦值.

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如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BB1=BC,AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn).
(1)求證:B1C∥平面A1BD;
(2)求證:B1C1⊥平面ABB1A1;
(3)在CC1上是否存在一點(diǎn)E,使得∠BA1E=45°,若存在,試確定E的位置,并判斷平面A1BD與平面BDE是否垂直?若不存在,請(qǐng)說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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