已知橢圓C:()經(jīng)過兩點(diǎn).

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足.求證:為定值.

(Ⅰ)(Ⅱ)①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn),此時(shí).同理,若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn),則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn),此時(shí)
.②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn),設(shè)直線l的方程為),
則直線OM的方程為,設(shè),,由解得,,∴,同理,所以為定值. 13分

解析試題分析:(Ⅰ)將代入橢圓C的方程,

解得,
∴橢圓的方程為.   6分
(Ⅱ)由,知M在線段AB的垂直平分線上,由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
①若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸頂點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓的一個(gè)長(zhǎng)軸頂點(diǎn),此時(shí)

同理,若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸頂點(diǎn),則點(diǎn)M在橢圓的一個(gè)短軸頂點(diǎn),此時(shí)

②若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn),設(shè)直線l的方程為),
則直線OM的方程為,設(shè),
解得,,
,同理,
所以,
為定值.   13分
考點(diǎn):橢圓方程及直線與橢圓的位置關(guān)系
點(diǎn)評(píng):求橢圓方程采用的待定系數(shù)法,第二問中要證明式子結(jié)果是定值首先需求出點(diǎn)坐標(biāo),結(jié)合已知條件可知這三點(diǎn)坐標(biāo)教容易求出,因此只需聯(lián)立方程求解即可

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)分別是橢圓:的左、右焦點(diǎn),過傾斜角為的直線 與該橢圓相交于P,兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求該橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn) 滿足,求該橢圓的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓過點(diǎn),上、下焦點(diǎn)分別為、,
向量.直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為
(1)求橢圓的方程;
(2)求直線的方程;
(3)記橢圓在直線下方的部分與線段所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為,若曲線
與區(qū)域有公共點(diǎn),試求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn),且其縱坐標(biāo)為4,
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)是拋物線上的兩點(diǎn),的角平分線與軸垂直,求直線AB的斜率;
(3)在(2)的條件下,若直線過點(diǎn),求弦的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,其左、右焦點(diǎn)分別為、,短軸長(zhǎng)為,點(diǎn)在橢圓上,且滿足的周長(zhǎng)為6.
(Ⅰ)求橢圓的方程;;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),試問在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M使恒為定值?若存在求出該定值及點(diǎn)M的坐標(biāo),若不存在請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓
(Ⅰ)設(shè)橢圓的半焦距,且成等差數(shù)列,求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)(1)中的橢圓與直線相交于兩點(diǎn),求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知曲線
(1)化的方程為普通方程,并說明它們分別表示什么曲線?
(2)若上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,Q為上的動(dòng)點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線的距離的最小值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),其中也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在第二象限的交點(diǎn),且。

(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)(1,3)和圓,過點(diǎn)的動(dòng)直線與圓相交于不同的兩點(diǎn),在線段取一點(diǎn),滿足:)。
求證:點(diǎn)總在某定直線上。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知雙曲線的離心率為,右準(zhǔn)線方程為。
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)已知直線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且線段AB的中點(diǎn)在圓上,求實(shí)數(shù)m的值。  

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同步練習(xí)冊(cè)答案