Question

14．已知實數x，y滿足方程（x-3）²+（y-3）²=6，求
（I）$\frac{y}{x}$的最大值與最小值；
（Ⅱ）$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （I）設k=$\frac{y}{x}$，表示圓上點P（x，y）與原點連線的斜率，直線OP的方程為y=kx，當直線OP與圓C相切時，斜率取得最值，即可求出$\frac{y}{x}$的最大值與最小值；
（Ⅱ）代數式$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$表示圓C上點到頂點（2，0）的距離，由此求出$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$的最大值與最小值．

解答 解：（I）設k=$\frac{y}{x}$，表示圓上點P（x，y）與原點連線的斜率，直線OP的方程為y=kx，
當直線OP與圓C相切時，斜率取得最值，點C到直線y=kx的距離d=$\frac{|3k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{6}$，
即k=3$±2\sqrt{2}$時，直線OP與圓C相切，所以（$\frac{y}{x}$）_max=3+2$\sqrt{2}$，（$\frac{y}{x}$）_min=3-2$\sqrt{2}$．…（6分）
（Ⅱ）代數式$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$表示圓C上點到頂點（2，0）的距離，圓心（3，3）與定點（2，0）的距離為$\sqrt{（3-2）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
又圓C的半徑是$\sqrt{6}$，所以（$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$）_max=$\sqrt{10}$+$\sqrt{6}$，（$\sqrt{{（x-2）}^{2}{+y}^{2}}$）_min=$\sqrt{10}$-$\sqrt{6}$．…（13分）

點評 本題考查代數式的最值，考查直線與圓的位置關系，正確轉化是關鍵．