Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；

（2）若對任意，恒有，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）若，則，根據(jù)和得到分段函數(shù)，進而可得的值域；

（2）對任意，恒有，即恒成立，，

則對任意，恒成立，構(gòu)造函數(shù)和函數(shù)討論即可.

（1）當(dāng)時，，即

當(dāng)時，，

此時，

當(dāng)時，，

此時，

綜上：的值域為.

（2）對任意，恒有，即恒成立，所以，

所以對任意，恒成立，

設(shè)，對任意，恒有，

因為開口向上，其對稱軸為的二次函數(shù)，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，解得，

故對任意，恒有時的取值范圍為

設(shè)，對任意，恒有，因為開口向上，其對稱軸為的二次函數(shù)，

當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，解得，所以，

當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以，解得，所以，

當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以 ，解得或（舍）

所以，故對任意，，時的取值范圍為

綜上對任意，恒有時，的取值范圍為.