Question

13．已知函數(shù)f（x）=6x-x⁶，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）設曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P，求曲線在點P處的切線方程；
（Ⅲ）若方程f（x）=a（a為實數(shù)）有兩個實數(shù)根x₁，x₂且x₁＜x₂，求證：x₂-x₁≤6${\;}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（Ⅱ）設出P點的坐標，求出坐標，代入切線方程即可；
（Ⅲ）設$g（x）=-30（x-\root{5}{6}）$，令F（x）=f（x）-g（x），設方程g（x）=a的根為${x_2}^'$，設方程h（x）=a的根為${{x}_{1}}^{′}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出x₂-x₁≤${{x}_{2}}^{′}$-${{x}_{1}}^{′}$，從而證出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：f′（x）=6（1-x⁵） 由f′（x）=0得：x=1
又 當x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當x＞1時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當x=1時f（x）取得極大值，極大值為f（1）=5，無極小值．…（3分）
（Ⅱ）設P（x₀，0），則${x_0}=\root{5}{6}$，f'（x₀）=-30，
曲線f（x）在點P處的切線方程為：$y=f'（{x_0}）（{x-{x_0}}）=-30（x-\root{5}{6}）$，
即 曲線在點P處的切線方程為：$y=-30（x-\root{5}{6}）$…（6分）
（Ⅲ）設$g（x）=-30（x-\root{5}{6}）$，令F（x）=f（x）-g（x）
即$F（x）=f（x）+30（x-\root{5}{6}）$，則F'（x）=f'（x）+30
由于f′（x）=6-6x⁵在R 單調(diào)遞減，故F′（x）在R 單調(diào)遞減，又∵F′（x₀）=0，$（{x_0}=\root{5}{6}）$
∴當x∈（-∞，x₀）時F'（x）＞0，當x∈（x₀，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x） 在（-∞，x₀）單調(diào)遞增，在（x₀，+∞）單調(diào)遞減，
∴?x∈R，F(xiàn)（x）≤F（x₀）=0，即?x∈R，都有f（x）≤g（x）；
設方程g（x）=a的根為${x_2}^'$，∴${{x}_{2}}^{′}$=${6}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{30}$．
∵g（x）在R 單調(diào)遞減，且g（x₂）≥f（x₂）=a=g（${{x}_{2}}^{′}$）
∴x₂＜${{x}_{2}}^{′}$，
設曲線y=f（x） 在點原點處的切線方程為：y=h（x），則易得h（x）=6x，
?x∈R，有f（x）-h（x）=-x⁶≤0，即f（x）≤h（x），
設方程h（x）=a的根為${{x}_{1}}^{′}$，則${{x}_{1}}^{′}$=$\frac{a}{6}$，
∵h（x）在R 單調(diào)遞增，且h（${{x}_{1}}^{′}$）=a=f（x₁）≤h（x₁），
∴${{x}_{1}}^{′}$≤x₁　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴x₂-x₁≤${{x}_{2}}^{′}$-${{x}_{1}}^{′}$=（${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{30}$）-$\frac{a}{6}$=${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$，
即x₂-x₁≤${a}^{\frac{1}{5}}$-$\frac{a}{5}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，考查曲線的切線方程問題，是一道綜合題．