Question

定義在[1，4]上的函數f（x）=x²-2bx+5
（Ⅰ）b=2時，求函數的最值；
（Ⅱ）若函數f（x）是單調函數，求b的取值范圍．
（III）若函數f（x）不是單調函數，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）b=2代入f（x），利用配方法求出f（x）的最值；
（Ⅱ）函數f（x）是單調函數要分兩種情況：單調增或者單調減去，求出了函數f（x）的對稱軸，利用對稱軸的性質可以求出b的范圍；
（III）由第二問求出了f（x）是單調函數b的范圍，則剩下的就不是單調函數了，由此可求b的范圍；

解答：解：（Ⅰ）b=2，時f（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1
又x∈[1，4]，f（x）的對稱軸為x=2，
所以f（x）max=f（4）=5，f（x）_min=f（2）=1，
（Ⅱ）當函數f（x）是單調函數時，有兩種情況：
①f（x）在[1，4]上是增函數時，對稱軸為x=b，
∴b≤1
②f（x）在[1，4]上是減函數時，對稱軸為x=b，
∴b≥4，
∴函數f（x）是單調函數，b的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）
（III）當函數f（x）在[1，4]上不是單調函數，對稱軸為x=b，
∴1＜b＜4，
∴函數f（x）不是單調函數，b的取值范圍為（1，4）；

點評：本題考查了函數的單調性的應用，兩個函數的簡單運算后判定單調性，此題函數f（x）比較簡單，就不需要用導數來進行判斷了；