Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，離心率為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，且

(Ⅰ)若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓C的方程；

 (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；否則，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ)

【解析】本試題主要是考查了橢圓的方程與性質(zhì)和直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

(1)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和橢圓的性質(zhì)得到橢圓方程的求解。

(2)設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立，得到關(guān)于x的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和向量的關(guān)系式得到參數(shù)m與k的關(guān)系式。進(jìn)而求解參數(shù)的范圍。

解：（1）由題意，得，所以 

又   由于，所以為的中點(diǎn)，

所以

所以的外接圓圓心為，半徑…………………3分

又過三點(diǎn)的圓與直線相切，

所以解得，

所求橢圓方程為 …………………………………………………… 6分

（2）有（1）知,設(shè)的方程為：

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,整理得

設(shè)交點(diǎn)為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821085776153108/SYS201209182109556797238026_DA.files/image026.png">

則……………………………………8分

若存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，

由于菱形對角線垂直，所以

又 

又的方向向量是，故，則

，即

由已知條件知………………………11分

，故存在滿足題意的點(diǎn)且的取值范圍是………………13分