Question

如下圖，已知曲線C₁：y=x³(x≥0)與曲線C₂：y=-2x³+3x(x≥0)交于點(diǎn)O、A，直線x=t(0＜t＜1)與曲線C₁、C₂分別相交于點(diǎn)B、D.

（1）寫(xiě)出四邊形ABOD的面積S與t的函數(shù)關(guān)系S=f(t);

（2）討論f(t)的單調(diào)性，并求f(t)的最大值.

Answer 1

解析：(1)解方程組得交點(diǎn)O、A的坐標(biāo)分別為(0,0),(1,1).

f(t)=S_△ABD+S_△OBD

=|BD|·|1-0|=|BD|

=(-2t³+3t-t³)=(-3t³+3t),

即f(t)=-(t³-t)(0＜t＜1＝.

(2)f′(t)=-t²+.

令f′(t)=-t²+=0，

得t=,t=-（舍去）.

當(dāng)0＜t＜時(shí)，f′(t)＞0,從而f(t)在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)；

當(dāng)＜t＜1時(shí)，f′(t)＜0，從而f(t)在區(qū)間（，1）上是減函數(shù).

所以當(dāng)t=時(shí)，f(t)有最大值f()=.