Question

已知圓C過(guò)點(diǎn)M（0，3），N（1，4），且圓心C在直線x-y+4=0上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是拋物線y=x²上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若過(guò)C，P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題,直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)條件，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求圓C的方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再設(shè)出過(guò)P的圓C的切線方程，利用交與拋物線兩點(diǎn)，聯(lián)立兩個(gè)方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系，得到兩切線的斜率的式子，由已知的MP⊥AB，得到方程進(jìn)而求解．

解答： 解：（1）∵圓心C在直線x-y+4=0，
∴設(shè)圓心C（a，a+4），
∵圓C過(guò)點(diǎn)M（0，3），N（1，4），
∴r=|CM|=|CN|，
即

a2+(a+4-3)2

=

(a-1)2+a2

，
即（a+1）²=（a-1）²，
解得a=0，即圓心C（0，4），半徑R=|CM|=1，
則圓的方程為x²+（y-4）²=1．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x₀，x₀²），A（x₁，x₁²），B（x₂，x₂²），
由題意得：x₀≠0，x₁≠x₂，
設(shè)過(guò)點(diǎn)P的圓M的切線方程為：y-x₀²=k（x-x₀），
即y=kx-kx₀+x₀²①
則

|kx0+4-x02|

1+k2

=1，
即（x₀²-1）k²+2x₀（4-x₀²）k+（x₀²-4）²-1=0，
設(shè)PA，PB的斜率為k₁，k₂（k₁≠k₂），則k₁，k₂應(yīng)該為上述方程的兩個(gè)根，
∴k₁+k₂=

2x0(x02-4)

x02-1

，k₁•k₂=

(x02-4)2-1

x02-1

；
代入①得：x²-kx+kx₀-x₀²=0，則x₁，x₂應(yīng)為此方程的兩個(gè)根，
故x₁=k₁-x₀，x₂=k₂-x₀
∴k_AB=x₁+x₂=k₁+k₂-2x₀=

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀，k_MP=

x02-4

x0

，
∵M(jìn)P⊥AB，∴k_AB•K_MP=-1，
∴[

2x0(x02-4)

x02-1

-2x₀]•

x02-4

x0

=-1
∴解得x₀=±

23 5

∴P（±

23 5

，

23

5

），直線l的方程為：y=±

3 115

115

x+4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，還考查了相應(yīng)的曲線性質(zhì)即設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的思想整體代換，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一點(diǎn)的難度．