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【題目】已知雙曲線：的右焦點為，半焦距，點到右準線的距離為，過點作雙曲線的兩條互相垂直的弦，，設，的中點分別為，.

（1）求雙曲線的標準方程；

（2）證明：直線必過定點，并求出此定點坐標.

【答案】（1）（2）證明見解析；定點

【解析】

（1）由題意可得的值，再由點到直線的距離為，可得的值，再由，，之間的關系求出雙曲線的方程；

（2）設弦所在的直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立可得兩根之和進而可得的中點的坐標，再由橢圓可得弦的中點的坐標，分別討論當的斜率存在和不存在兩種情況可得直線恒過定點.

（1）由題設可得，，所以，.

所以雙曲線的標準方程為.

（2）證明：點，設過點的弦所在的直線方程為，，，

則有.

聯(lián)立，可得.

因為弦與雙曲線有兩個交點，所以，

所以，所以.

（1）當時，點即是點，此時，直線為軸.

（2）當時，將上式點坐標中的換成，同理可得.

①當直線不垂直于軸時，

直線的斜率，

其方程，化簡得，

所以直線過定點；

②當直線垂直于軸時，，此時，，直線也過定點.

綜上所述，直線過定點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，已知，，側面.

（Ⅰ）求直線與底面所成角正切值；

（Ⅱ）在棱（不包含端點）上確定一點E的位置，

使得（要求說明理由）；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若，求二面角的大小.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖是某地區(qū)2012年至2018年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）的折線圖.

注：年份代碼分別表示對應年份.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數（線性相關較強）加以說明；

（2）建立與的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2019年該區(qū)生活垃圾無害化處理量.

（參考數據），，，，，，.

（參考公式）相關系數，在回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】波羅尼斯（古希臘數學家，約公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有，，則當的面積最大時，AC邊上的高為_______________.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】用“算籌”表示數是我國古代計數方法之一，計數形式有縱式和橫式兩種，如圖1所示.金元時期的數學家李冶在《測圓海鏡》中記載：用“天元術”列方程，就是用算籌來表示方程中各項的系數.所謂“天元術”，即是一種用數學符號列方程的方法，“立天元一為某某”，意即“設為某某”.如圖2所示的天元式表示方程，其中，，…，，表示方程各項的系數，均為籌算數碼，在常數項旁邊記一“太”字或在一次項旁邊記一“元”字，“太”或“元”向上每層減少一次冪，向下每層增加一次冪.

試根據上述數學史料，判斷圖3天元式表示的方程是（ ）

A.B.

C.D.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱柱中，平面，四邊形為平行四邊形，，．

（1）若，求證：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直線l的參數方程為（t為參數），直線l與曲線C交于M，N兩點.

（1）若點P的極坐標為（2，π），求|PM||PN|的值；

（2）求曲線C的內接矩形周長的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，直線與y軸交于點A，與拋物線交于P，Q，點B與點A關于x軸對稱，連接QB，BP并延長分別與x軸交于點M，N.

（1）若，求拋物線C的方程；

（2）若，求外接圓的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形

∠ADC＝45°，，為的中點，⊥平面，，為的中點．

(1)證明：⊥平面；

(2)求直線與平面所成角的正切值．

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