雙曲線M的中心在原點,并以橢圓數(shù)學(xué)公式+數(shù)學(xué)公式=1的焦點為焦點,以拋物線y2=-2數(shù)學(xué)公式x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.
(Ⅰ)求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+3 與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.
①當(dāng)k為何值時,使得數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式=0?
②是否存在這樣的實數(shù)k,使A、B兩點關(guān)于直線y=mx+12對稱?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

解:(Ⅰ)易知,橢圓的半焦距為:,
又拋物線的準(zhǔn)線為:x=.(2分)
設(shè)雙曲線M的方程為,依題意有
,又b2=c2-a2=12-3=9.
∴雙曲線M的方程為.(4分)
(Ⅱ)設(shè)直線l與雙曲線M的交點為A(x1,y1)B(x2,y2)、兩點
聯(lián)立方程組消去y得(k2-3)x2+6kx+18=0,(5分)
∵A(x1,y1)B(x2,y2)、兩點的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個不同實根,∴k2-3≠0
∴△=36k2-4(k2-3)×18>0,解可得,,
從而有.(7分)
∴y1y2=(kx1+3)(kx2+3)=k2x1x2+3k(x1+x2)+9=
,則有x1x2+y1y2=0,即
∴k=±1
∴當(dāng)k=±1時,使得,(10分)
②若存在實k,使A、B兩點關(guān)于直線y=mx+12對稱,則必有
因此,當(dāng)m=0時,不存在滿足條件的k;
當(dāng)m≠0時,由得3(x12-x22)-(y12-y22)=0

∵A、B中點P()在直線y=mx+12上,
,代入上式得
,又km=-1,∴x1+x2=6k(13分)
代入并注意到k≠0,得k=
∴當(dāng)m≠0時,存在實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線y=mx+12對稱(14分)
分析:(Ⅰ)由題意可得所求的雙曲線的半焦距,準(zhǔn)線為:x=從而可得,可求雙曲線M的方程
(Ⅱ)①設(shè)直線l與雙曲線M的交點為A(x1,y1)B(x2,y2)、聯(lián)立方程組消去y(k2-3)x2+6kx+18=0,設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)、則k2-3≠0,△=36k2-4(k2-3)×18>0,解可得,,從而有
,則有x1x2+y1y2=0,可求k
②若存在實k,使A、B兩點關(guān)于直線y=mx+12對稱,則必有
當(dāng)m≠0時,利用點差法,由可得,3(x12-x22)-(y12-y22)=0即,再由A、B中點P()在直線y=mx+12上,代入可求
點評:本題主要考查了由雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關(guān)系,要求考生具備一定的邏輯推理與計算的能力,本題具有較大的綜合性.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

雙曲線M的中心在原點,并以橢圓
x2
25
+
y2
13
=1的焦點為焦點,以拋物線y2=-2
3
x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.
(1)求雙曲線M的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+3與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.求k值,使
OA
OB
=0.

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雙曲線M的中心在原點,并以橢圓
x2
25
+
y2
13
=1的焦點為焦點,以拋物線y2=-2
3
x的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.
(Ⅰ)求雙曲線M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx+3 與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.
①當(dāng)k為何值時,使得
OA
OB
=0?
②是否存在這樣的實數(shù)k,使A、B兩點關(guān)于直線y=mx+12對稱?若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.

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(Ⅰ)求雙曲線M的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線 與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.

① 當(dāng)為何值時,使得?

② 是否存在這樣的實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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(Ⅰ)求雙曲線M的方程;

(Ⅱ)設(shè)直線 與雙曲線M相交于A、B兩點,O是原點.

① 當(dāng)為何值時,使得?

② 是否存在這樣的實數(shù),使A、B兩點關(guān)于直線對稱?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.

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