Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b，g（x）=2alnx
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點(diǎn)（1，0）處的切線互相垂直，求a，b的值．
（2）設(shè)F（x）=f′（x）-g（x），若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），并求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把點(diǎn)（1，0）代入函數(shù)解析式，再由函數(shù)在x=1時(shí)的導(dǎo)數(shù)乘積等于-1列式，聯(lián)立后求得a，b的值；
（2）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，代入F（x）=f′（x）-g（x），把若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁）轉(zhuǎn)化為F′（x）的最小值大于a恒成立．令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，分類求導(dǎo)求得其最小值點(diǎn)，得到x=

-2a

為h（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．由

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a求得a的范圍．

解答： 解：（1）由點(diǎn)（1，0）在f（x）=

1

6

x³+

1

2

（a-2）x²+b上，得

1

6

+

1

2

(a-2)+b=0  ①，
由f′(1)=

1

2

+(a-2)，g′（1）=2a，得[

1

2

+(a-2)]•2a=-1  ②，
聯(lián)立①②，解得a=

1

2

或a=1．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，b=

7

12

；當(dāng)a=1時(shí)，b=

1

3

；
（2）f′(x)=

1

2

x2+(a-2)x，
F（x）=f′（x）-g（x）=

1

2

x2+(a-2)x-2alnx，
若對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞a（x₂-x₁），
不妨設(shè)x₂＞x₁，則有

F(x2)-F(x1)

x2-x1

＞a恒成立，即F′（x）的最小值大于a恒成立．
令h(x)=F′(x)=x+(a-2)-

2a

x

，
則h′(x)=1+

2a

x2

，
若a≥0，則h′（x）＞0恒成立，h（x）單調(diào)遞增，h（x）_min→h（0）→-∞，此時(shí)命題不能恒成立；
若a＜0，則h′(x)=

(x+ -2a )(x- -2a )

x2

，
∵x＞0，∴x=

-2a

為h（x）的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
故有

-2a

-

2a

-2a

+a-2＞a，即

-2a

＞1，解得a＜-

1

2

．
∴當(dāng)a∈（-∞，-

1

2

）時(shí)，命題成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是壓軸題．