Question

已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，拋物線y²=2x的焦點(diǎn)是雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)（1，）,

（1）求雙曲線的方程；

（2）設(shè)直線l:y=kx+1與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，試問：

①k為何值時(shí)⊥;

②是否存在實(shí)數(shù)k，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx對稱（m為常數(shù)），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解析：（1）由題意設(shè)雙曲線方程為=1，

把（1，）代入得=1.                                                (*)

又y²=2x的焦點(diǎn)是（，0），故雙曲線的c²=a²+b²=與（*）聯(lián)立，消去b²可得4a²-21a²+5=0,(4a²-1)(a²-5)=0.

∴a²=,a²=5（不合題意舍去）

于是b²=1，∴雙曲線方程為4x²-y²=1；

（2）由消去y得

（4-k²）x²-2kx-2=0.                                                          （*）

當(dāng)Δ＞0 即-2＜k＜2(k≠±2)時(shí)，

l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B,

①設(shè)A（x₁，y₁）,B(x₂，y₂)，

因⊥，故·=0即x₁x₂+y₁y₂=0，

由（*）知x₁+x₂=,x₁x₂=，

代入可得+k²·+k·+1=0,

化簡得k²=2,∴k=±，檢驗(yàn)符合條件，故當(dāng)k=±時(shí)，⊥.

②若存在實(shí)數(shù)k滿足條件，則必須

由(ⅱ)(ⅲ)得m(x₁+x₂)=k(x₁+x₂)+2,

把x₁+x₂=代入(ⅰ)得mk=4這與(ⅰ)的km=-1矛盾，故不存在實(shí)數(shù)k滿足條件.