已知函數(shù)f(x)=alnx-(1+a)x+
12
x2，a∈R
（1）當0＜a＜1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）已知f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的范圍．
分析：（1）求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，等價于f（x）min≥0，分a＞0，a≤0兩種情況求f（x）的最小值即可，用導數(shù)易求函數(shù)的最小值；
解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=
a
x
+x-(1+a)=
x2-(1+a)x+a
x
=
(x-1)(x-a)
x
，
當0＜a＜1時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：
x （0，a） a （a，1） 1 （1，+∝）
f'（x） + 0 - 0 +
f（x） 單調(diào)遞增 極大值 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）；
（2）由于f(1)=-
1
2
-a，顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的；
當a≤0時，易得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值、也是最小值即是f(1)=-
1
2
-a，此時只要f（1）≥0即可，解得a≤-
1
2
，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-
1
2
）．
點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查恒成立問題，恒成立問題常常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值處理．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案