Question

如圖，已知直線l與半徑為1的⊙D相切于點C，動點P到直線l的距離為d，若d=

2

|PD|
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）若軌跡上的點P與同一平面上的點G、M分別滿足

GD

=2

DC

，

MP

=3

PD

，

GM

•

PG

+

GM

•

PM

=0，求以P、G、D為頂點的三角形的面積．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由已知可得點P的軌跡是D為焦點，l為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓，結(jié)合離心率、準(zhǔn)線與焦點的距離求得a，c的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）由已知關(guān)系可得G為橢圓的左焦點，再由已知的等式推得∴△PDG為直角三角形，∠PDG=90°，然后由三角形的面積公式得答案．

解答： 解：（Ⅰ）∵d=

2

|PD|，
∴

|PD|

d

=

2

2

∈（0，1），
∴點P的軌跡是D為焦點，l為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓．
由e=

c

a

=

2

2

，又

a2

c

-c=1，
解得a=

2

，c=1，
于是b²=a²-c²=1
以CD所在直線為x軸，以CD與⊙D的另一個交點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系．
∴所求點P的軌跡方程為

x2

2

+y2=1；
（Ⅱ）∵

GD

=2

DC

，|

GD

|=2，G為橢圓的左焦點．
又∵

GM

•

PG

+

GM

•

PM

=0，
∴

GM

•(

PG

+

PM

)=0．
由題意，

GM

≠

0

，

PG

+

PM

≠

0

（否則P、G、M、D四點共線與已經(jīng)矛盾），
∴(

PM

-

PG

)•(

PG

+

PM

)=0，

PM

2-

PG

2=0，
∴|

PG

|=|

PM

|=3|

PD

|．
又∵點P在橢圓上，
∴|

PG

|+|

PM

|=2a=2

2

，|

PD

|=

2

2

，|

PG

|=

3 2

2

．
又∵|

GD

|=2，
∴△PDG為直角三角形，∠PDG=90°．
∴S△PDG=

1

2

×

2

2

×2=

2

2

．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了橢圓的第二定義，訓(xùn)練了利用平面向量求解圓錐曲線問題，是中檔題．