已知數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1an+2an+1=3an+2，n∈N+，記數(shù)學(xué)公式．
（Ⅰ） 求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列；
（Ⅱ） 若an≤t•4n對任意n∈N+恒成立，求t的取值范圍；
（Ⅲ）證明：數(shù)學(xué)公式．

解：（Ⅰ）證明：∵an+1an+2an+1=3an+2，∴，∴
兩式相除得
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，∴
由an≤t•4n得易得是關(guān)于n的減函數(shù)，∴，∴（8分）
（Ⅲ）．∴
=．∴．（13分）
分析：（Ⅰ）由條件先得，再分別表示∴an+1-2，an+1+1，兩式相除，可得數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，對an≤t•4n分離參數(shù)得，從而可解；
（Ⅲ）由于，利用放縮法可證．
點(diǎn)評：本題考查構(gòu)造新數(shù)列是求數(shù)列的通項(xiàng)，考查分離參數(shù)法求解恒成立問題，考查放縮法證明不等式，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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