設函數(shù)f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1

(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若y=g(x)與y=f(x)的圖象關于x=1對稱,求y=g(x)的解析式;
(3)把y=f(x)的圖象向右平移m(m>0)個單位后得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求m的最小值.
分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)=sin(
πx
4
-
π
6
)-2cos2
πx
8
+1
,利用倍角公式,和差角公式,可得函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù),進而求出f(x)的最小正周期;
(2)由(1)中所得函數(shù)f(x)的解析式,由y=g(x)與y=f(x)的圖象關于x=1對稱,根據(jù)函數(shù)圖象對稱變換法則可得y=g(x)的解析式;
(3)由(1)中所得函數(shù)f(x)的解析式,及(2)中所得函數(shù)g(x)的解析式,設出平移量,并根據(jù)平移變換法則,構造關于m的方程,解方程可得答案.
解答:解:(1)f(x)=sin
π
4
xcos
π
6
-cos
π
4
xsin
π
6
-cos
π
4
x

=
3
2
sin
π
4
x-
3
2
cos
π
4
x
=
3
sin(
π
4
x-
π
3
)
              
故f(x)的最小正周期為T=
π
4
=8
(2)在y=g(x)的圖象上任取一點(x,g(x)),
它關于x=1的對稱點為(2-x,g(x)).
由題設條件y=g(x)與y=f(x)的圖象關于x=1對稱,
∴點(2-x,g(x))在y=f(x)的圖象上,
從而g(x)=f(2-x)=
3
sin[
π
4
(2-x)-
π
3
]
=
3
sin[
π
2
-
π
4
x-
π
3
]

=
3
sin(-
π
4
x
+
π
6
)=
3
sin(
π
4
x
+
6

(3)把函數(shù)y=
3
sin(
π
4
x-
π
3
)
的圖象向右平移m(m>0)個單位到函數(shù)y=
3
sin[
π
4
(x-m)-
π
3
]=
3
sin(
π
4
x-
π
4
m-
π
3
)=
3
sin(
π
4
x+
6
)

所以-
π
4
m-
π
3
=
6
+2kπ,k∈Z
,即m=-4(2k+
7
6
),k∈Z

當k=-1時,m的最小值是
10
3
點評:本題考查的知識點是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,函數(shù)的圖象,三角函數(shù)的化簡求值,三角函數(shù)的周期性及其求法,是三角函數(shù)的綜合應用,難度中等.
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相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•安徽模擬)設函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
,x∈[0,π]

(Ⅰ)求f(x)的值域;
(Ⅱ)記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊長分別為a,b,c,若f(B)=1,b=1,c=
3
,求a
的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-
π
2
<φ<
π
2
)
,給出以下四個論斷:
①它的圖象關于直線x=
π
12
對稱;     
②它的圖象關于點(
π
3
,0)
對稱;
③它的周期是π;                   
④在區(qū)間[0,
π
6
)
上是增函數(shù).
以其中兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出你認為正確的命題:
條件
①③
①③
結論
;(用序號表示)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=sin(ωx+
π
4
)(x∈R,ω>0)
的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的表達式;
(2)若f(x)•f(-x)=
1
4
,x∈(
π
4
π
2
)
,求tanx的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=sin(2x+
π
3
)
,則下列結論正確的是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=sinωx+2
3
sin2
ωx
2
(ω>0)的最小正周期為
3

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若將y=f(x)的圖象向左平移
π
2
個單位可得y=g(x)的圖象,求不等式g(x)≥2
3
的解集.

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