Question

（本小題滿分12分）. 若直線l：與拋物線交于A、B兩點，O點是坐標(biāo)原點。

(1)當(dāng)m=－1,c=－2時，求證：OA⊥OB；

 (2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點；并求出這個定點坐標(biāo)。

(3)當(dāng)OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線位置關(guān)系如何？證明你的結(jié)論。

 

 

Answer 1

【答案】

設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得

可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂=2c   ∴x₁+x₂=2m²—2c  x₁x₂= c²,

(1)    當(dāng)m=－1,c=－2時，x₁x₂ +y₁y₂=0 所以O(shè)A⊥OB.

(2)    當(dāng)OA⊥OB時，x₁x₂ +y₁y₂=0 于是c²+2c=0 ∴c=－2(c=0不合題意),此時，直線l：過定點(2,0).

(3)    由題意AB的中點D(就是△OAB外接圓圓心)到原點的距離就是外接圓的半徑。

而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]=  由(2)知c=－2 

∴圓心到準(zhǔn)線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準(zhǔn)線相離。

 

【解析】略