Question

2．已知函數(shù)f （x）=ln x+$\frac{1}{x}$-1，g（x）=$\frac{x-1}{lnx}$
（Ⅰ）求函數(shù) f （x）的最小值；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）求證：直線 y=x不是曲線 y=g（x）的切線．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得極小值，且為最小值；
（Ⅱ）求出g（x）的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）運(yùn)用反證法證明，假設(shè)直線y=x是曲線g（x）的切線．設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及點(diǎn)滿足曲線的方程，推理得到矛盾，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的極小值為f（1）=ln1+1-1=0，
所以f（x）的最小值為0；
（Ⅱ）函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，1）∪（1，+∞），
$g'（x）=\frac{{lnx-（x-1）\frac{1}{x}}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{{lnx+\frac{1}{x}-1}}{{{{ln}^2}x}}=\frac{f（x）}{{{{ln}^2}x}}$，
由（Ⅰ）得，f（x）≥0，所以g'（x）≥0，
所以g（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），（1，+∞），無單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅲ）證明：假設(shè)直線y=x是曲線g（x）的切線．
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則g'（x₀）=1，即$\frac{{ln{x_0}+\frac{1}{x_0}-1}}{{{{ln}^2}{x_0}}}=1$，
又${y_0}=\frac{{{x_0}-1}}{{ln{x_0}}}，{y_0}={x_0}$，則$\frac{{{x_0}-1}}{{ln{x_0}}}={x_0}$．
所以$ln{x_0}=\frac{{{x_0}-1}}{x_0}=1-\frac{1}{x_0}$，得g'（x₀）=0，與 g'（x₀）=1矛盾，
所以假設(shè)不成立，直線y=x不是曲線g（x）的切線

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查反證法的運(yùn)用，注意推理得出矛盾，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．