Question

如圖，△ABC是直角三角形，∠ABC=90^o．以AB為直徑的圓0交AC于點E點D是BC邊的中點，連0D交圓0于點M
（I）求證：O，B，D，E四點共圓；
（II）求證：2DE²=DM·AC+DM·AB

Answer 1

證明：（1）連接BE，則BE⊥EC
又D是BC的中點
∴DE=BD
又∴OE=OB，OD=OD
∴△ODE≌△ODB
∴∠OBD=∠OED=90°
∴D，E，O，B四點共圓．
（2）延長DO交圓于點H
∵DE²=DM·DH=DM·（DO+OH）=DM·DO+DM·OH
∴DE²=DM·（AC）+DM·（AB）
∴2DE²=DM·AC+DM·AB．
分析：（1）做出輔助線，首先證明兩個三角形全等，根據(jù)三角形三邊對應(yīng)相等，得到兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，從而得到四邊形一對對角互補，即四點共圓．
（2）根據(jù)圓的切割線定理，寫出DE，DM，DH三者之間的關(guān)系，把DH寫成兩部分的和，然后變化成AC，整理系數(shù)得到結(jié)論成立．
點評：本題考查三角形全等，考查四點共圓，考查圓的切割線定理，是一個平面幾何的綜合題目，解題時注意分析要證明的結(jié)論與條件之間的關(guān)系．